TRANG THÔNG TIN NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI VỀ MẶT HỌC THUẬT, LÝ LUẬN CỦA LUẬN ÁN
Tên tác giả: Phạm Văn Hiển
Tên người hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Bích Huy
Tên luận án: MỘT SỐ BÀI TOÁN CAUCHY CHỨA KÌ DỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH.
Ngành khoa học của luận án: Toán
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Khóa: 2014 – 2018
Mã số: 62 46 01 05
Tên cơ sở đào tạo: trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh
NỘI DUNG NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN
Xét một họ (cũng gọi là một thang) các không gian Banach (Xs, ||.||s), s ∈ [a, b] thỏa mãn
XCX, ≤ ||2||, Vx ∈ X, s < 8.
Luận án nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất của hai bài toán Cauchy có kì dị: u(t) = f(t, u(t)), t ∈ [0, T), u(0) = uo, (1) và bài toán có chậm du = f(t, u(t), u(h(t)), t ∈ (0,1), u(0) = uo, dt (2) trong đó yếu tố chậm h : [0,1) → [0,1) là hàm liên tục và thỏa mãn h(t) <t¹/p, t ∈ (0,1) và p∈ (0,1). Tính kì dị thể hiện ở chỗ ánh xạ ƒ không tác động từ một không gian vào chính nó mà vào các không gian rộng hơn f(t, X) CX, s < s’ với bài toán (1); f(t, X, X) CXs, s < s’ với bài toán
A. Đóng góp về phương pháp
Xuất phát từ các phương pháp quen thuộc như xây dựng dãy lặp, sử dụng ánh xạ co, sửdụng ánh xạ cô đặc, chúng tôi có những cải tiến, mở rộng để giải quyết những khó khăn trong luận án. Cụ thể, chúng tôi xây dựng các không gian Banach với những chuẩn mới để sử dụng ánh xạ co hiệu quả và linh động. Đặc biệt, chúng tôi xây dựng độ đo phi compact mang giá trị nón trong không gian lồi địa phương cho phương pháp sử dụng ánh xạ cô đặc trong khi các tác giả trước đây sử dụng độ đo giá trị số trong không gian Banach.
B. Đóng góp học thuật
1. Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục cho nguyên trên các thang không gian Banach với kì dị yếu. và bài toán bậc không
2. Xây dựng dãy lặp đơn điệu hội tụ về nghiệm của một bài toán trên thang không gian Banach có thứ tự.
3. Với bài toán (2), các kết quả thu được bao gồm
Khi ƒ thỏa mãn điều kiện: C ||f(t, u1, v1) – f(t, u2, v2)||(||41-42||+||01 – 22), s’-s trong đó 41, 42, 01, 02 ∈ X8,8 <s’ thì bài toán có duy nhất nghiệm địa phương.
Khi ƒ không phụ thuộc biến thứ hai và thỏa mãn: C ||f(t, v₁)-f(t, v2) ||s≤ 1-2, s <s’, (ss)71 thì bài toán có duy nhất nghiệm toàn cục ngay cả khi kì dị là mạnh (7 > 1).
Trường hợp ƒ thỏa mãn điều kiện về tính compact: khi (f(1,1,2)) ≤ 1 (khi(21) ((21)+(2), + (-)), <8, (s) trong đó a, là độ đo phi compact Kuratowski trên X, và y = 1 nếu ƒ xác định trên [0, 1] x B₂(uo, r) × Bs(uo, r), y > 0 tùy ý nếu ƒ xác định trên [0, 1] x Xx X. Bằng cách xây dựng một không gian Fréchet và một độ đo phi compact nhận giá trị trong nón, chúng tôi chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán.
4. Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy có chậm trên thang các không gian Banach có dạng u(t) = f(t, A(t)u(t), B(u(h(t)))), và áp dụng kết quả đó cho phương trình: du(t, x) = g(t, x, d)u(t, o(t)x), 2)u(h(t), 2)].
